ボラティリティはなぜ時間の平方根$\sqrt{t}$に比例するのか?

目次

必要な前提知識

分散の性質

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$となるかを考えてみます。

\[V(X+Y)=E(\{(X+Y)-(μx+μy)\}^2)  …(1)\]

  • E(X)=μx …確率変数Xの平均値
  • E(Y)=μy …確率変数Yの平均値
  • X,Yは共に独立した確率変数
  • Vは分散
  • Eは期待値

分散は、確率変数と平均の差の2乗であるため、(1)の式となります。これを展開していきます。

$=E(\{(X-μx)+(Y-μy)\}^2)$
$=E((X-μx)^2)+2E((X-μx)(Y-μy))+E((Y-μy)^2)$

分散の定義より$E((X-μx)^2)=V(X)、E((Y-μy)^2)=V(Y)$なので、

$=V(X)+V(Y)+2E((X-μx)(Y-μy))$
$=V(X)+V(Y)+2E(XY-Xμy-Yμx+μxμy)$
$=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-μyE(X)-μxE(Y)μx+μxμy)$

確率変数の期待値は平均値に等しいので、$E(X)=μx、E(Y)=μy$とおき、

$=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-μyμx-μxμy+μxμy)$
$=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-μxμy)$
$=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))$

$E(XY)-E(X)E(Y)$は確率変数が独立(2つの確率変数が無関係に動く)であればゼロになる期待値の性質があるから、

$=V(X)+V(Y)+2\times0$
$=V(X)+V(Y)$

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$となることが分かりました。$ …(2)$

ボラティリティの時間経過による変動

分散の総和を考える

\[V(Sn)=V(X1+X2+X3+X4…Xn)\]

  • V(Sn)は分散の総和
  • σは標準偏差(ボラティリティ)

(2)より、

$V(Sn)=V(X1+X2+X3+X4…Xn)=V(X1)+V(X2)+V(X3)+V(X4)…V(Xn)$

各分散が同一という前提を置くと、

$V(Sn)=V(X1)+V(X2)+V(X3)+V(X4)…V(Xn)=nV(X)$

標準偏差は分散の平方根をとったものなので、平方根を取ってσを求める。

$σ(Sn)=\sqrt{nV(X)}$
$=σ\times\sqrt{n}$

金融工学の一般的な表記にすると、

$σ(Rt)=σ\times\sqrt{t}$

この式は感覚とも一致します。短期間で株価が大きく変動することは多くありませんが、長い期間で考えられば大きな変動も珍しくありません。


具体的な使用方法

ボラティリティは、一般に「株価の変動率の標準偏差の年率」とされておりますので、月次の株価データから標準偏差を計算した場合、$\sqrt{12}$を掛けてボラティリティを算出します。

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監修者

PwCあらた有限責任監査法人の金融部門に所属。保険会社を中心とした会計監査、内部統制監査、各種コンサルティング業務に従事。AI化推進室に兼任で所属し、公認会計士業務の自動化を担当。

セコム損害保険株式会社、THホールディングス株式会社における、保険数理、金融派生商品の評価、予実統制、税務、M&A、企業再生、IPO支援の経験を経て、PEファンドJ-star傘下、株式会社Free Spark、株式会社CyberKnot、Mattrz株式会社のCFOを歴任。

2020年、AIknot会計事務所を設立し代表に就任。
2023年、AIknotコンサルティング合同会社を設立し代表社員に就任。

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